Question

19．已知函數f（x）=ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ） 若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為1，求a的值；
（Ⅱ） 討論函數f（x）極值點的個數；
（Ⅲ） 若f（x）≤xlnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數f（x）的導數，根據f′（1）=1，從而求出a的值；
（Ⅱ）先求出函數f（x）的導數，通過討論a的范圍，從而得到函數的極值點的個數；
（Ⅲ）問題轉化為$a≤\frac{lnx}{x}+lnx$在[1，+∞）上恒成立，令$g（x）=\frac{lnx}{x}+lnx$，通過求導得到函數g（x）的單調性，從而有g（x）_min=g（1）=0，進而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ） 由f（x）=ax-lnx，得$f'（x）=a-\frac{1}{x}$，
又$f'（1）=a-\frac{1}{1}=1$，
∴a=2；
（Ⅱ）∵$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，x＞0，
當a≤0時，f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點，
當a＞0時，f′（x）≤0得$0＜x≤\frac{1}{a}$，f′（x）≥0得$x≥\frac{1}{a}$，
∴f（x）在$（0，\frac{1}{a}]$上單調遞減，在$[\frac{1}{a}，+∞）$上單調遞增，
∴f（x）在$x=\frac{1}{a}$有極小值．
綜上得 當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上沒有極值點；
當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點．
（Ⅲ） f（x）＜xlnx在[1，+∞）上恒成立，
即$a≤\frac{lnx}{x}+lnx$在[1，+∞）上恒成立，
令$g（x）=\frac{lnx}{x}+lnx$，x∈[1，+∞），
∴$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-lnx+1}{x^2}$，
令h（x）=x-lnx+1，
∴$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}≥0$在[1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）≥h（1）=2，
∴g'（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（1）=0，
∴a≤0．

點評 本題考查了函數的單調性，函數的極值問題，考查導數的應用，考查轉化思想，本題屬于難題．