Question

19．（1）已知不等式（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最小值．
（2）記F（x）=x+y-a（x+2$\sqrt{2xy}$），x，y∈R⁺，若對(duì)任意的x，y∈R⁺，恒有F（x，y）≥0，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）題目轉(zhuǎn)化為（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）的最小值≥9，而（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$，由基本不等式可得；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$的最小值，變形并由基本不等式可得$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$≥$\frac{\frac{1}{2}x+2\sqrt{\frac{1}{2}xy}}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{\frac{1}{2}（x+2\sqrt{2xy}）}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{1}{2}$，注意等號(hào)成立的條件即可．

解答 解：（1）∵不等式（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，
∴只需（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）的最小值≥9即可，
∵（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{ax}{y}}$=（$\sqrt{a}$+1）²，
∴（$\sqrt{a}$+1）²≥9，解得a≥4
∴正實(shí)數(shù)a的最小值為4；
（2）由題意可得對(duì)任意的x，y∈R⁺，恒有F（x，y）=x+y-a（x+2$\sqrt{2xy}$）≥0，
∴a≤$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$恒成立，只需a≤$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$的最小值即可，
∵$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$≥$\frac{\frac{1}{2}x+2\sqrt{\frac{1}{2}xy}}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{\frac{1}{2}（x+2\sqrt{2xy}）}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{1}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2}$x=y時(shí)取等號(hào)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及恒成立問(wèn)題和分離常數(shù)法，屬中檔題．