Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°，E和F分別是側(cè)棱CD和PC的中點．
（1）求證：平面BEF⊥平面PCD；
（2）求三棱錐F-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）證明平面BEF⊥平面PCD，可證CD⊥平面BEF，由已知可得CD⊥BE，然后證明CD⊥EF，又BE∩EF=E，可得CD⊥面BEF，則平面BEF⊥平面PCD；
（2）由（1）知，CE⊥平面BEF，把三棱錐F-BCE的體積利用等積法轉(zhuǎn)化為求C-BFE的體積，通過解三角形求得三角形BFE為直角三角形且求得邊長，代入體積公式得答案．

解答 （1）證明：如圖，
∵AB⊥PA，AB∥CD，∴CD⊥PA，
∵BC=CD，E為CD中點，∴CD⊥BE，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$=ED，∴四邊形ABED為平行四邊形，則BE∥AD，
∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，
∴CD⊥面PAD，則CD⊥PD，
∵E，F(xiàn)分別為CD，PC中點，∴EF∥PD，
則CD⊥EF，又BE∩EF=E，
∴CD⊥面BEF，
∴平面BEF⊥平面PCD；
（2）解：由（1）知，CE⊥平面BEF，
在等腰三角形BCD中，底邊上的高BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}=\sqrt{6-2}=2$，
在直角三角形PAB中，PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{6-2}=2$，
在三角形PAD中，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}-2PA•AD•cos120°}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}=2\sqrt{3}$．
則EF=$\sqrt{3}$，
PC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{5}$，則BF=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=1$，
在三角形BEF中，由BE=2，EF=$\sqrt{3}$，BF=1，可得∠BFE=90°，
∴V_F-BCE=V_C-BFE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．