Question

6．已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為2$\sqrt{2}$．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率，以及橢圓上任一點到兩焦點的距離和為2$\sqrt{2}$，求出a，b，c即可求橢圓的方程；
（2）設出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，轉化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關系進行求解．

解答 解：（1）因為離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又2a=2$\sqrt{2}$．
∴a=$\sqrt{2}$，c=1．
∴b=1，
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）①若l與x軸重合時，顯然M與原點重合，即m=0符合條件，
②若直線l的斜率k≠0，
則可設l：y=k（x-1），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2=0}\end{array}\right.$得x²+2k²（x²-2x+1）-2=0，
化簡得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；
即x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，即PQ的中點橫坐標為：$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，代入l：y=k（x-1）可得：
PQ的中點為N（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$），
由于|MP|=|MQ|，得到m=$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$
所以：m=$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{k}^{2}}+2}$$∈（0，\frac{1}{2}）$，
綜合（1）（2）得到：m$∈（0，\frac{1}{2}）$．

點評 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關系的應用，利用設而不求的數(shù)學思想是解決本題的關鍵．