Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上只有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運算化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，由周期公式可求周期，由$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，可求2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，從而由函數(shù)單調(diào)性可求最值．
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性知f（x）在[0，$\frac{3π}{8}$]上遞增，在[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上遞減，又f（0）=0，f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}+1$，f（$\frac{π}{2}$）=2，結(jié)合圖象可知實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=2$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2sinxcosx+2sin²x…（1分）
=sin2x+1-cos2x…（2分）
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1…（3分）
所以最小正周期T=π…（4分）
當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，…（5分）
故當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{3π}{8}$時，f（x）取得最大值$\sqrt{2}+1$
當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$即x=0時，f（x）取得最小值
所以函數(shù)f（x）的最大值為f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}+1$，最小值為f（0）=0…（8分）
（少求一個最值扣一分，兩個全錯扣三分）
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性知f（x）在[0，$\frac{3π}{8}$]上遞增，在[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上遞減…（9分）
又f（0）=0，f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}+1$，f（$\frac{π}{2}$）=2…（10分）
要想方程f（x）=m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上只有一個實根，結(jié)合圖象可知只需滿足
m=$\sqrt{2}+1$或0≤m≤2…（13分）
（若有分析過程，但無圖象，不扣分，若只畫出了函數(shù)的大致圖象，但沒有得出答案，則扣兩分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．