Question

2．已知函數(shù)f（x）=aln（x-a）-$\frac{1}{2}$x²+x（a＜0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若-1＜a＜2（ln2-1），求證：函數(shù)f（x）只有一個零點x₀，且a+1＜x₀＜a+2．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，得到導函數(shù)小于0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)零點的判定定理進行證明即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{a}{x-a}$-x+1=$\frac{a-（x+1）（x-a）}{x-a}$，
∵a＜0，x＞a，
∴x-a＞0，a-（x+1）（x-a）＜0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
（2）由-1＜a＜2（ln2-1），
∴a+1＞0，a+2＜2ln2，
∴$\frac{1}{2}$（a+2）＜ln2，a-1＜2ln2-3＜0，
由（1）f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（a+1）＞f（a+2），
而f（a+1）=aln（a+1-a）-$\frac{1}{2}$（a+1）²+（a+1）
=-$\frac{1}{2}$a²-a-$\frac{1}{2}$+a+1
=-$\frac{1}{2}$（a+1）（a-1）＞0，
f（a+2）=aln（a+2-a）-$\frac{1}{2}$（a+2）²+（a+2）
=aln2-$\frac{1}{2}$a（a+2）
=a[ln2$\frac{1}{2}$a+2）]＜0，
∴函數(shù)f（x）只有一個零點x₀，且a+1＜x₀＜a+2．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性問題，考察導數(shù)的應用，函數(shù)的零點的判定定理，本題屬于中檔題．