Question

1．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*） 
（1）寫出它的前五項，并歸納出通項公式；
（2）判斷它的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），可得${a}_{2}=\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{2}{3}$，同理可得a₃=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2}{5}$，a₅=$\frac{2}{6}$．…，可得：${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
（2）由（1）可得：${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．通過作商即可判斷出單調(diào)性．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），
∴${a}_{2}=\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{2}{3}$，同理可得a₃=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2}{5}$，a₅=$\frac{2}{6}$．
…，
可得：${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
（2）由（1）可得：${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{2}{n+2}}{\frac{2}{n+1}}$=$\frac{n+1}{n+2}$＜1，
∴a_n+1＜a_n．
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．

點評 本題考查了遞推關系的應用、數(shù)列的單調(diào)性、作商法，查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．