Question

11．已知在數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a_n+1（1+2a_n ）（n∈N^*）．
（1）數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）若a₁a₂ +a₂a₃ +…+a_na_n+1＞$\frac{16}{33}$，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n=a_n+1（1+2a_n ）（n∈N^*）變形可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列；
（2）通過（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，裂項(xiàng)可知a_na_n+1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項(xiàng)相加可知a₁a₂ +a₂a₃ +…+a_na_n+1=$\frac{n}{2n+1}$，從而解不等式$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{16}{33}$即可．

解答 （1）證明：∵a_n=a_n+1（1+2a_n ）（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+2{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴a₁a₂ +a₂a₃ +…+a_na_n+1=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$，
又∵a₁a₂ +a₂a₃ +…+a_na_n+1＞$\frac{16}{33}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{16}{33}$，
解得：n＞16，
∴n的取值范圍是：（16，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．