Question

3．已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=1，求
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）
=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$
當且僅當$\frac{2y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=$\sqrt{2}$-1且y=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$時取等號，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$

點評 本題考查基本不等式求最值，1的代換是解決問題的關鍵，屬基礎題．