Question

2．在平面直角坐標系xoy中，已知圓C與直線x+2y+1=0切于點（1，-1），且圓心在直線$y=\frac{1}{2}x$上．
（1）求圓C的方程； 
（2）判斷直線l：x+y+2=0和圓C的位置關系；
（3）已知點B（-4，-2）設P和Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）可設圓心坐標為C（2a，a），利用圓C與直線x+2y+1=0切于點（1，-1），求出a，即可求圓C的方程； 
（2）利用圓心到直線l：x+y+2=0的距離與半徑的關系，判斷直線l：x+y+2=0和圓C的位置關系；
（3）求出點B關于直線x+y+2=0的對稱點，將已知問題轉化為對稱點到圓上的最小值問題，根據(jù)圓的幾何條件，圓外的點到圓上的點的最小值等于該點到圓心的距離減去半徑．

解答 解：（1）因為圓心在直線$y=\frac{1}{2}x$上，可設圓心坐標為C（2a，a），
又圓C與直線x+2y+1=0切于點（1，-1），
∴$\frac{a+1}{2a-1}×（{-\frac{1}{2}}）=-1$，
∴a=1，圓心坐標為C（2，1），$r=\sqrt{5}$，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．…（5分）
（2）圓心到直線l：x+y+2=0的距離是$d=\frac{2+1+2}{{\sqrt{2}}}=\frac{5}{{\sqrt{2}}}＞r$，
∴直線l與圓相離．…（9分）
（3）∵直線l：x+y+2=0到原點的距離$d=\frac{5}{{\sqrt{2}}}＞r$，∴直線與圓相離．
點B（-4，-2），則PB+PQ≥BC-r，B到圓上點的最短距離為$BC-r=\sqrt{{{（{-6}）}^2}+{{（{-3}）}^2}}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$．
∴PB+PQ最小值為$2\sqrt{5}$，直線BC的方程為$y=\frac{1}{2}x$，
∴直線BC與直線x+y+2=0的交點P的坐標為$（{-\frac{4}{3}，-\frac{2}{3}}）$．…（15分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查對稱性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．