Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=-2x²+3x+1
（1）求f（0）
（2）當(dāng)x＜0時，f（x）的解析式
（3）f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得f（0）；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，將x＜0轉(zhuǎn)化為-x＞0，即可求出x＜0時，f（x）的解析式；
（3）由（1）（2），結(jié)合條件，可得f（x）在R上的解析式．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0；
（2）若x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=-2x²+3x+1，
∴當(dāng)-x＞0時，f（-x）=-2x²-3x+1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=2x²+3x-1，（x＜0），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+3x+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{2{x}^{2}+3x-1，x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求法，利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．