Question

7．非零實數(shù)a，b滿足4a²-2ab+4b²-c=0，當|2a+b|取得最大值時，則$\frac{a}$的值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 變形可得$\frac{c}{4}$=（a-$\frac{4}$）²+$\frac{15}{16}$b²，由柯西不等式可得．

解答 解：∵非零實數(shù)a，b滿足4a²-2ab+4b²-c=0，
∴$\frac{c}{4}$=a²-$\frac{1}{2}$ab+b²=（a-$\frac{4}$）²+$\frac{15}{16}$b²，
由柯西不等式可得（a-$\frac{4}$）²+$\frac{15}{16}$b²[2²+（$\frac{6}{\sqrt{15}}$）²]≥[2（a-$\frac{4}$）+$\frac{\sqrt{15}}{4}$b•$\frac{6}{\sqrt{15}}$]²=|2a+b|²，
∴當|2a+b|取得最大值時，有$\frac{a-\frac{4}}{2}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}b}{\frac{6}{\sqrt{15}}}$，∴a=$\frac{3}{2}$b，
變形可得$\frac{a}$=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查柯西不等式，湊出可用柯西不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．