Question

4．已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是R上的函數(shù)，其圖象交x軸于A、B、C三點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），若函數(shù)f（x）在[-2，0]和[5，7]上均為單調(diào)函數(shù)，且f（x）在[-2，0]和[5，7]上的單調(diào)性相同，在[0，3]和[5，7]上的單調(diào)性相反．
（1）求實(shí)數(shù)c的值，并用a、b表示d；
（2）證明：曲線y=f（x）上不存在點(diǎn)M，使曲線在點(diǎn)M處的切線與直線x+3by+a=0垂直．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)極值點(diǎn)定義解得f′（0）=0．（2）假設(shè)存在 若求不出x的值即證明假設(shè)不成立，從而得到原結(jié)論成立．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=3ax²+2bx+c，因?yàn)閒（x）在[-2，0]和[0，3]上有相反的單調(diào)性，
所以x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′（0）=0，∴c=0，
將B（2，0）代入f（x）=ax³+bx²+d，得：d=-8a-4b；
（2）∵c=0，∴f′（x）=3ax²+2bx，
令f′（x）=0，得：3ax²+2bx=0，解得：x₁=0，x₂=-$\frac{2b}{3a}$，
因?yàn)閒（x）在[0，3]和[5，7]上有相反單調(diào)性，
∴2≤-$\frac{2b}{3a}$≤5，即-$\frac{15}{2}$≤x≤-3，
假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使曲線在點(diǎn)M處的切線與直線x+3by+a=0垂直，
即使得f（x）在點(diǎn)M處的切線斜率為3b，則f′（x₀）=3b，
即3a${{x}_{0}}^{2}$+2bx₀-3b=0，∴△=4ab（$\frac{a}$+9），
∵-$\frac{15}{2}$≤$\frac{a}$≤-3，∴ab＜0，$\frac{a}$+9＞0，
∴△＜0，方程無(wú)解，
故不存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線與直線x+3by+a=0垂直．

點(diǎn)評(píng) 第一問(wèn)較簡(jiǎn)單．第二問(wèn)進(jìn)一步考查極值點(diǎn)和 一元二次方程根存在問(wèn)題，本題是一道中檔題．