Question

17．已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx，當(dāng)x∈[-3π，3π]時，函數(shù)f（x）的零點個數(shù)是（　�。�

• A． 7
• B． 5
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：（I）∵f（x）=xcosx-sinx，
∴f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
當(dāng)f′（x）＞0時，得$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤3π}\\{sinx＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3π≤x＜0}\\{sinx＞0}\end{array}\right.$，

∴π＜x＜2π，或-2π＜x＜-π，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，xsinx＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤3π}\\{sinx＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3π≤x＜0}\\{sinx＜0}\end{array}\right.$，
即0＜x＜π或2π＜x＜3π，或-3π＜x＜-2π或-π＜x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x=π，-2π，函數(shù)f（x）取極小值，此時f（π）=-π，f（-2π）=-2π，
當(dāng)x=-π，2π，時，函數(shù)f（x）取極大值，此時f（-π）=π，f（2π）=2π，
又f（3π）=-3π，f（-3π）=3π，f（0）=0，
作出函數(shù)f（x）的草圖如圖，
則由圖象知函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，5個，
故選：B

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．