Question

8．設(shè)點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x上，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)y=lnx上，則|PQ|最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． ln2

Answer 1

分析 設(shè)平行于直線(xiàn)y=x的直線(xiàn)y=x+b與曲線(xiàn)y=lnx相切，則兩平行線(xiàn)間的距離即為|PQ|的最小值，由導(dǎo)數(shù)和切線(xiàn)的關(guān)系由距離公式可得．

解答 解：設(shè)平行于直線(xiàn)y=x的直線(xiàn)y=x+b與曲線(xiàn)y=lnx相切，
則兩平行線(xiàn)間的距離即為|PQ|的最小值，
設(shè)直線(xiàn)y=x+b與曲線(xiàn)y=lnx的切點(diǎn)為（m，lnm），
則由切點(diǎn)還在直線(xiàn)y=x+b可得lnm=m+b，
由切線(xiàn)斜率等于切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可得$\frac{1}{m}$=1，
聯(lián)立解得m=1，b=-1，
∴由平行線(xiàn)間的距離公式可得|PQ|的最小值為$\frac{|-1-0|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)和平行線(xiàn)間的距離公式，等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．