Question

2．如圖，正三棱柱A′B′C′-ABC中，D為AA′中點，E為BC′上的一點，AB=a，CC′=h
（1）若DE⊥平面BCC′B′，求證：BE=EC′
（2）平面BC′D將棱柱A′B′C′-ABC分割為兩個幾何體，記上面一個幾何體的體積為V₁，下面一個幾何體的體積為V₂，求V₁，V₂．

Answer 1

分析 （1）推導出AD=A′D=$\frac{h}{2}$，AB=A′C′=a，從而BD=C′D=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{h}^{2}}{4}}$，由DE⊥平面BCC′B′，得DE⊥BC′，由此能證明BE=EC′．
（2）點C′到平面BDA′B′的距離h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，${S}_{梯形BD{A}^{'}{B}^{'}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}h+h）a$=$\frac{3}{4}ah$，從而V₁=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形BD{A}^{‘}{B}^{’}}×h$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{8}$，再求出正三棱柱A′B′C′-ABC的體積V=${S}_{△ABC}•C{C}^{'}$，從而V₂=V-V₁，由此能求出結果．

解答 證明：（1）正三棱柱A′B′C′-ABC中，
∵D為AA′中點，E為BC′上的一點，AB=a，CC′=h，
∴AD=A′D=$\frac{h}{2}$，AB=A′C′=a，
∴BD=C′D=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{h}^{2}}{4}}$，
∵DE⊥平面BCC′B′，BC′?平面BCC′B′，
∴DE⊥BC′，
∴BE=EC′．
解：（2）∵平面BC′D將棱柱A′B′C′-ABC分割為兩個幾何體，
記上面一個幾何體的體積為V₁，下面一個幾何體的體積為V₂，
點C′到平面BDA′B′的距離h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
${S}_{梯形BD{A}^{'}{B}^{'}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}h+h）a$=$\frac{3}{4}ah$，
∴V₁=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形BD{A}^{‘}{B}^{’}}×h$
=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}ah×\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{8}$，
正三棱柱A′B′C′-ABC的體積：
V=${S}_{△ABC}•C{C}^{'}$=$\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}a}{2}h$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{4}$，
∴V₂=V-V₁=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{4}$-$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{8}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{8}$．

點評 本題考查兩線段相等的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．