Question

16．已知圓C經(jīng)過A（1，1），B（0，2）兩點，并且圓心C在直線2x-y=0上．
（1）求該圓的方程
（2）求該圓過點（2，4）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的圓心坐標為C（a，2a），由圓C經(jīng)過A（1，1），B（0，2）兩點，可得|CA|²=|CB|²，即 （a-1）²+（2a-1）²=（a-0）²+（2a-2）²．求得a的值，即可求得圓心坐標和半徑，從而求得圓C的方程．
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，即可求該圓過點（2，4）的切線方程．

解答 解：（1）由于圓心在直線2x-y=0上，故可設(shè)圓C的圓心坐標為C（a，2a）．
再由圓C經(jīng)過A（1，1），B（0，2）兩點，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-1）²+（2a-1）²=（a-0）²+（2a-2）²．
解得a=1，故圓心C（1，2），半徑r=1，
故圓C的方程為 （x-1）²+（y-2）²=1；
（2）直線的斜率不存在時，x=2，滿足題意；
直線的斜率存在時，設(shè)方程為y-4=k（x-2），即kx-y-2k+4=0，
圓心（1，2）到直線的距離d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴切線方程為y-4=$\frac{3}{4}$（x-2），即3x-4y+10=0．
綜上所述，切線方程為3x-4y+10=0或x=2．

點評 本題主要考查求圓的標準方程的方法，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．