Question

11．已知定義在R上的單調函數f（x）滿足：對任意的x，都有f（f（x）-2^x）=6，則不等式f（x+2）≥3f（-x）的解集為（　　）

• A． [log₂$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，log₂$\frac{3}{2}$]
• C． [log₂5，+∞）
• D． （-∞，log₂5]

Answer 1

分析 由條件求得函數的解析式為f（x）=2^x +2，再利用指數函數的單調性解不等式求得f（x+2）≥3f（-x）的解集．

解答 解：由f（f（x）-2^x）=6，可得f（x）-2^x 為定值，設f（x）-2^x =m，即f（x）=2^x +m，
再根據f（m）=2^m +m=6，求得m=2，故f（x）=2^x +2．
不等式f（x+2）≥3f（-x），即  2^x+2 +2≥3（ 2^-x +2 ），∴2^x≥$\frac{3}{2}$，或2^x≤-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴x≥log₂$\frac{3}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查求函數的解析式，函數的單調性的性質，解指數不等式，屬于基礎題．