Question

9．已知f（x）=lnx-x²+x+2，g（x）=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，（m∈R），討論f（x）與g（x）交點的個數(shù)．

Answer 1

分析 討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點的個數(shù)，即討論方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的個數(shù)，該方程為lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx，只需討論方程 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m在（0，+∞）上根的個數(shù)．

解答 解：討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點的個數(shù)，即討論方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的個數(shù)．
該方程為lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx．
只需討論方程$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m在（0，+∞）上根的個數(shù)，
令u（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），v（x）=x²-2ex+m．
因u（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），u′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令u′（x）=0，得x=e，
當(dāng)x＞e時，u′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜e時，u′（x）＞0，∴u（x）_max=u（e）=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x→0⁺時，u（x）=$\frac{lnx}{x}$→-∞； 當(dāng)x→+∞時，$\frac{lnx}{x}$→0，但此時u（x）＞0，且以x軸為漸近線．
如圖構(gòu)造u（x）=$\frac{lnx}{x}$的圖象，并作出函數(shù)v（x）=x²-2ex+m的圖象：
①當(dāng)m-e²＞$\frac{1}{e}$，即m＞e²+$\frac{1}{e}$時，方程無根，沒有公共點；
②當(dāng)m-e²=$\frac{1}{e}$，即m=e²+$\frac{1}{e}$時，方程只有一個根，有一個公共點；
③當(dāng)m-e²＜$\frac{1}{e}$，即m＜e²+$\frac{1}{e}$時，方程有兩個根，有兩個公共點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)圖象的交點，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，難度大．