Question

5．如圖，在半徑為1、圓心角為變量2θ（0＜2θ＜π）的扇形OAB內作一內切圓P，再在扇形內作一個與扇形兩半徑相切并與圓P外切的小圓Q，設圓P的半徑為R，圓Q的半徑為r．
（1）用θ表示圓P的半徑R；   
（2）求圓Q半徑r的最大值．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形OEP中$OP=\frac{PE}{sinθ}=\frac{R}{sinθ}$，即可用θ表示圓P的半徑R；  
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，利用導數的性質能求出圓Q的半徑的最大值．

解答 解：（1）如圖，在直角三角形OEP中$OP=\frac{PE}{sinθ}=\frac{R}{sinθ}$…2分
因為半徑為1，所以OP+R=1，所以$R=\frac{sinθ}{1+sinθ}$…5分
（2）在直角三角形ODQ，OQ=$\frac{DQ}{sinθ}$=$\frac{r}{sinθ}$，OQ+r+2R=1，
∴$r=\frac{sinθ（1-sinθ）}{{{{（1+sinθ）}^2}}}$…10分
令$sinθ=t，（0＜t＜1），r=\frac{{t-{t^2}}}{{{{（1+t）}^2}}}，r'=\frac{1-3t}{{{{（1+t）}^3}}}$
令$r'=0，t=\frac{1}{3}$$0＜t＜\frac{1}{3}，r'＞0；\frac{1}{3}＜t＜1，r'＜0$
所以$t=\frac{1}{3}$時，$r=\frac{1}{8}$…14分
答：存在θ為銳角，當$sinθ=\frac{1}{3}$時，圓Q半徑得最大值$\frac{1}{8}$．…15分．

點評 本題考查函數的求法，考查圓的半徑的最大值的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．