Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，若點P是橢圓上的動點，GH是圓（x+1）²+y²=1的直徑，試求$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$的最大值．

Answer 1

分析 設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由GH是圓的直徑，則OG⊥OH，即為x₁x₂+y₁y₂=0．設P（x₃，y₃），求得向量PG，PH的坐標，再由向量的數(shù)量積的坐標表示化簡整理，結合P在橢圓上，可得$\frac{1}{4}$x₃²+2x₃+3，配方，再由橢圓的范圍，即可得到最大值．

解答 解：由題意，圓過原點，設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∵GH是圓的直徑，
∴OG⊥OH，即為x₁x₂+y₁y₂=0．
設P（x₃，y₃），
則$\overrightarrow{PG}$=（x₁-x₃，y₁-y₃），$\overrightarrow{PH}$=（x₂-x₃，y₂-y₃），
∴$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$=x₁x₂+y₁y₂-x₃（x₁+x₂）-y₃（y₁+y₂）+x₃²+y₃²；
又GH的中心是（-1，0），
∴x₁+x₂=-2，y₁+y₂=0，而$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{3}$=1，
∴y₃²=3-$\frac{3}{4}$x₃²，
∴$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$=$\frac{1}{4}$x₃²+2x₃+3=$\frac{1}{4}$（x₃+4）²-1，
又∵-2≤x₃≤2，
∴當x₃=2時，$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$取得最大，并且最大值為8．

點評 熟練掌握圓錐曲線的定義和性質、向量的數(shù)量積、直線與圓錐曲線的相交問題及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．本題需要較強的計算能力，注意分類討論的思想方法應用．