Question

9．設A={y|y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，x∈R}，B={y|y=$\frac{1}{3}$x+m，x∈[-1，1]}，記命題p：“x∈A”，命題q：“x∈B”，若p是q的必要不充分條件，則m的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 求出集合的等價條件，根據充分條件和必要條件的定義，建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
則0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，-1＜-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜0，
則0＜1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
即0＜y＜1，
則A=（0，1），
B={y|y=$\frac{1}{3}$x+m，x∈[-1，1]}=[-$\frac{1}{3}$+m，$\frac{1}{3}$+m]，
若p是q的必要不充分條件，
則B?A，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}+m＜1}\\{-\frac{1}{3}+m＞0}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{3}$＜m＜$\frac{2}{3}$，
故答案為：（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據函數(shù)的性質求出集合的等價條件是解決本題的關鍵．