Question

8．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，E，F分別是BB₁，A₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證EF∥平面A₁BC；
（Ⅱ）若AB=AC=AA₁=1，求二面角A₁-BC-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可取CC₁的中點M，并連接EM，FM，從而可以得到EM∥平面A₁BC，FM∥平面A₁BC，由面面平行的判定定理即可得出平面FEM∥平面A₁BC，從而有EF∥平面A₁BC；
（Ⅱ）根據條件可分別以AB，AC，AA₁三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可由AB=AC=AA₁求出圖形上一些點的坐標，從而得出$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（-1，0，1），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0），\overrightarrow{BF}=（-1，\frac{1}{2}，1）$，可設平面A₁BC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根據$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$便可求出平面A₁BC的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，1）$，而同理可以求出平面FBC的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（2，2，1）$，從而可以求出$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$，這便可得出二面角A₁-BC-F的平面角的余弦值．

解答 解：
（Ⅰ）證明：如圖，取CC₁中點M，連結EM，FM；
∵E，F分別是BB₁，A₁C₁的中點；
∴EM∥BC，FM∥A₁C；
∴EM∥平面A₁BC，FM∥平面A₁BC，且EM∩FM=M；
∴平面EFM∥平面A₁BC；
∴EF∥平面A₁BC；
（Ⅱ）根據題意知，AB，AC，AA₁三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系A-xyz，則：
B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），$F（0，\frac{1}{2}，1）$；
∴$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（-1，0，1），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{BF}=（-1，\frac{1}{2}，1）$；
設平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-{x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=-{x}_{1}+{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得y₁=1，z₁=1，∴$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，1）$；
同理可得平面FBC的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（2，2，1）$；
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞=\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{5}{\sqrt{3}•3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$；
所以二面角A₁-BC-F的余弦值為$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$．

點評 考查三角形中位線的性質，線面平行及面面平行的判定定理，面面平行的性質，以及通過建立空間直角坐標系，利用空間向量解決幾何問題的方法，能求空間點的坐標，平面法向量的概念及求法，以及向量夾角余弦的坐標公式．