Question

19．在正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，給出以下命題：
①平面A₁BD∥平面D₁B₁C；
②存在無(wú)數(shù)條直線，它與該正方體的六個(gè)表面所在平面所成的角都相等；
③不存在平面，與該正方體的六個(gè)表面所在平面所成的銳二面角的大小都相等；
④AD₁與平面A₁BD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①，依據(jù)面面平行的判定可判定；
②過(guò)點(diǎn)A與三個(gè)平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直線分有4條，所有與之平行的直線都滿足條件，存在無(wú)數(shù)條直線，
③，面A₁C₁B與過(guò)定點(diǎn)B₁的側(cè)面所成角相等，與六個(gè)側(cè)面所成角一定等
④如圖連結(jié)AD₁交A₁D于E，連結(jié)AC₁交面A₁BD于O，
易知AC₁⊥面A₁BD，連結(jié)EO，故∠AEO就是AD₁與平面A₁BD所成角，sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，．

解答 解：對(duì)于①，如圖所示∵DB∥D₁B₁，A₁D∥B₁C，由面面平行的判定可判定平面A₁BD∥平面D₁B₁C，故正確；
對(duì)于②，過(guò)點(diǎn)A與三個(gè)平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直線分兩類：
第一類：通過(guò)點(diǎn)A位于三條棱之間的直線有一條體對(duì)角線AC₁，第二類：在圖形外部和每面所成角和另兩個(gè)面所成角相等，有3條，合計(jì)4條，所有與之平行的直線都滿足條件，存在無(wú)數(shù)條直線，故正確．
對(duì)于③，如圖面A₁C₁B與過(guò)定點(diǎn)B₁的側(cè)面所成角相等，與六個(gè)側(cè)面所成角一定等，故錯(cuò)；
對(duì)于④，如圖連結(jié)AD₁交A₁D于E，連結(jié)AC₁交面A₁BD于O，
易知AC₁⊥面A₁BD，連結(jié)EO，故∠AEO就是AD₁與平面A₁BD所成角，sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，故正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線線、線面的位置關(guān)系，即線面角、面面角的求解，屬于中檔題．