Question

13．判斷并證明函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$的奇偶性．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先求出函數(shù)f（x）的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的定義域?qū)�f（x）的解析式化簡(jiǎn)，并驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$為奇函數(shù)，
證明：對(duì)于函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$，則其x應(yīng)該滿足1-x²≥0，2-|x+2|≠0，
解可得-1≤x≤1，
即函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又由f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-|x+2|}$，且x∈{x|-1≤x≤1}，
則f（x）=-$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，則f（-x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，
即f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，注意要分析函數(shù)的定義域，進(jìn)而將原函數(shù)化簡(jiǎn)進(jìn)行判斷．