Question

6．已知函數(shù)f（x）滿足以下條件：①f（x）=2f（x-2）；②當x∈[-1，1]時，f（x）=|x|-1．
（1）當x∈[-1，5]時，求函數(shù)y=f（x）+$\frac{1}{2}$的零點構(gòu)成的集合；
（2）當x∈[-7，0]∪（0，7）時，利用圖象法判斷函數(shù)y=f（x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出當x∈[-1，5]時，函數(shù)f（x）的解析式，由函數(shù)y=f（x）+$\frac{1}{2}$=0，解方程即可；
（2）由y=f（x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|=0得f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|，分別作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由y=f（x）+$\frac{1}{2}$=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$，
①當x∈[-1，1]時，由f（x）=|x|-1=-$\frac{1}{2}$得|x|=$\frac{1}{2}$．
則x=$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$，
②若1≤x≤3，則-1≤x-2≤1，
即f（x）=2f（x-2）=2（|x-2|-1）=2|x-2|-2，x∈[1，3]，
由f（x）=-$\frac{1}{2}$，得f（x）=2|x-2|-2=-$\frac{1}{2}$，即|x-2|=$\frac{3}{4}$，解得x=$\frac{5}{4}$或$\frac{11}{4}$．
③若3≤x≤5，則1≤x-2≤3，
即f（x）=2f（x-2）=2（2|x-4|-2）=4|x-4|-4，x∈[3，5]，
由f（x）=-$\frac{1}{2}$，得f（x）=4|x-4|-4=-$\frac{1}{2}$，即|x-4|=$\frac{7}{8}$，解得x=$\frac{25}{8}$或$\frac{39}{8}$．
即當x∈[-1，5]時，求函數(shù)y=f（x）+$\frac{1}{2}$的零點構(gòu)成的集合為{$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{4}$，$\frac{25}{8}$，$\frac{39}{8}$}．
（2）由y=f（x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|=0得f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|，
根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）在[-7，0]∪（0，7）上的圖象如圖，作出y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|，
由圖象知，兩個函數(shù)在[-7，0]∪（0，7）上的交點個數(shù)為7個，
故函數(shù)y=f（x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|的零點個數(shù)為7個．

點評 本題主要考查函數(shù)零點和方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．