Question

3．已知向量$\overrightarrow a=（{1，2}），\overrightarrow b=（{2，-3}）$，向量$\overrightarrow c$滿足$（{\overrightarrow c+\overrightarrow a}）∥\overrightarrow b，\overrightarrow c⊥（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，則$\overrightarrow c$用基底$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的線性表示為$\frac{1}{9}\overrightarrow-\overrightarrow{a}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=0$⇒$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，（$λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}$）$•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）=0，⇒λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$λ\overrightarrow$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0⇒λ=$\frac{1}{9}$，即可得$\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{9}\overrightarrow-\overrightarrow{a}$．

解答 解：∵向量$\overrightarrow c$滿足$（{\overrightarrow c+\overrightarrow a}）∥\overrightarrow b，\overrightarrow c⊥（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，則$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=0$
⇒$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，（$λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}$）$•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）=0，
⇒λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$λ\overrightarrow$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
⇒-4λ+13λ-5+4=0，
⇒λ=$\frac{1}{9}$．
∴$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow-\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{9}\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，
故答案為：$\frac{1}{9}\overrightarrow-\overrightarrow{a}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積計算、共線得應用，屬于中檔題．