Question

10．三棱錐P-ABC的四個頂點在同一球面上，PA、PB、PC兩兩互相垂直，且這個三棱錐的三個側面的面積分別為$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，則這個球的半徑是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 三棱錐P-ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長就是球的直徑，然后求球的半徑即可．

解答 解：∵三棱錐P-ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球
設PA=a，PB=b，PC=c則$\left\{\begin{array}{l}{ab=\sqrt{2}①}\\{ac=2\sqrt{3}②}\\{bc=\sqrt{6}③}\end{array}\right.$
∴①×②×③可得abc=2$\sqrt{3}$④
∴④÷①得c=$\sqrt{6}$
④÷②得b=1
④÷③得a=$\sqrt{2}$
∴求出長方體的對角線的長：$\sqrt{2+1+6}$=3
∴球的直徑是3，半徑為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，是基礎題．解題的關鍵是要知道三棱錐P-ABC的四個頂點在同一球面上，PA、PB、PC兩兩互相垂直則球的直徑是以PA，PB，PC所構造出的長方體得對角線長這一常用結論！