Question

5．求下列函數(shù)的定義域和值域：
（1）y=$\sqrt{1-{3}^{x}}$；
（2）y=2${\;}^{\frac{1}{x-4}}$；
（3）y=（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\sqrt{-|x|}}$．

Answer 1

分析 （1）解不等式1-3^x≥0即可得出該函數(shù)的定義域，而由0≤1-3^x≤1即可得出該函數(shù)的值域；
（2）定義域顯然為{x|x≠4}，根據(jù)$\frac{1}{x-4}≠0$及指數(shù)函數(shù)的值域即可得出該函數(shù)的值域；
（3）要使原函數(shù)有意義，顯然x=0，從而便可寫出該函數(shù)的定義域、值域．

解答 解：（1）解1-3^x≥0得，x≤0；
∴該函數(shù)的定義域為（-∞，0]；
∵3^x＞0；
∴1-3^x＜1，且1-3^x≥0；
∴0≤y＜1；
∴該函數(shù)的值域為：[0，1）；
（2）定義域為{x|x≠4}；
∵$\frac{1}{x-4}≠0$；
∴${2}^{\frac{1}{x-4}}＞0$，且${2}^{\frac{1}{x-4}}≠1$；
∴該函數(shù)的值域為{y|y＞0，且y≠1}；
（3）要使原函數(shù)有意義，則x=0；
∴該函數(shù)的定義域為{0}，值域為{1}．

點評 考查函數(shù)定義域、值域的概念及求法，以及指數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的單調性．