Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x（其中a＜0）．
（Ⅰ）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對(duì)滿足條件的a的任意值，f（x）＜b在區(qū)間（0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)，從而求出a的范圍；
（Ⅱ）分離出b，問題轉(zhuǎn)化為b＞φ（x）=$\frac{1}{2}x2+lnx-x$恒成立，通過求出函數(shù)φ（x）的最大值，從而求出b的范圍．

解答 解：（Ⅰ）  f′（x）=$\frac{1}{x}-ax-2=-\frac{ax2+2x-1}{x}$，x＞0．
因?yàn)閒（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f′（x）≤0在區(qū)間（0，+∞）上有解，
即ax²+2x-1≥0在區(qū)間（0，+∞）上有解，
由于a＜0，且函數(shù)g（x）=ax²+2x-1的圖象過定點(diǎn)（0，-1），
且對(duì)稱軸x=$-\frac{1}{a}＞0$，故只需△=4+4a≥0，即a≥-1，
所以，a的取值范圍為[-1，0）．               
（Ⅱ） f（x）＜b即lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x＜b，
因?yàn)閷?duì)任意的a∈[-1，0），不等式lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x＜b恒成立，
所以-$\frac{1}{2}$x²a+（lnx-2x-b）＜0在a∈[-1，0）恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)g（a）=-$\frac{1}{2}$x²a+（lnx-2x-b） 在a∈[-1，0）上單調(diào)遞減，
所以g（-1）=-$\frac{1}{2}$x²（-1）+（lnx-2x-b）＜0恒成立，即b＞$\frac{1}{2}$x²+lnx-2x恒成立，
也就是：b＞（$\frac{1}{2}$x²+lnx-2x）_max，
令φ（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-2x，則φ′（x）=x-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）2}{x}$≥0，
∴φ（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴φ（x）_max=φ（1）=$-\frac{3}{2}$，
所以，實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-$\frac{3}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，畫出恒成立問題，是一道中檔題．