Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，則a_n=n+1．

Answer 1

分析 a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，可得a₂=3，a₃=4，a₄=5，…，猜想a_n=n+1．再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，
∴a₂=2²-2+1=3，a₃=4，a₄=5，…，
猜想a_n=n+1．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2；
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，a_k=k+1成立，
則n=k+1，a_k+1=${a}_{k}^{2}-k{a}_{k}$+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+1+1．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立．
綜上可得：?n∈N^*，都有a_n=n+1．
故答案為：n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、遞推關(guān)系，考查了猜想推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．