Question

7．已知圓錐的側(cè)面積為2π，底面積為π，則該圓錐的內(nèi)接圓柱體積的最大值為$\frac{8π}{27}$．

Answer 1

分析 設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h，根據(jù)三角形相似找出h與r的關(guān)系，然后表示出內(nèi)接圓柱的體積，最后利用基本不等式求出最值即可，注意等號成立的條件．

解答 解：圓錐的側(cè)面積為2π，底面積為π，
設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓錐的底面半徑1，圓錐的母線長為：l=2，圓錐的高為：$\sqrt{3}$，如右圖，
∵△CAB∽△CED，
∴$\frac{ED}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{h}{2}$=$\frac{1-r}{1}$，則h=2-2r，
∴內(nèi)接圓柱的體積為：
V=πr²h=πr²×（2-2r）=πr•r•（2-2r）≤π（$\frac{r+r+2-2r}{3}$）³=$\frac{8π}{27}$，
當(dāng)且僅當(dāng)r=2-2r，即r=$\frac{2}{3}$時取等號，
∴內(nèi)接圓柱體積的最大值是$\frac{8π}{27}$．
故答案為：$\frac{8π}{27}$．

點評 本題主要考查了圓錐的內(nèi)接圓柱的體積，以及基本不等式在最值中的應(yīng)用，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．