Question

10．某省去年高三200000考生英語聽力考試成績服從正態(tài)分布N（17，9），現(xiàn)從某校高三年級隨機(jī)抽取50名考生的成績，發(fā)現(xiàn)全部介于[6，30]之間，將成績按如下方式分成6組：第1組[6，10），第2組[10，14），…，第6組[26，30]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）估算該校50名考生成績的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）求這50名考生成績在[22，30]內(nèi)的人數(shù)；
（3）從這50名考生成績在[22，30]內(nèi)的人中任意抽取2人，該2人成績排名（從高到低）在全省前260名的人數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：
若X～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，
P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）這50名考生成績在[22，30]內(nèi)的人數(shù)4×（0.02+0.03）×50=10
（3）求出P（X≥26）=0.0013，0.0013×200 000=260．全省前260名的排名（從高到低） 最低是26，這50人中26分以上的有6人，確定X的可能取值，求出其概率，即可得到X的分布列與期望．

解答 解：（1）該校50名考生成績的眾數(shù)是$\frac{14+18}{2}$=16；
設(shè)中位數(shù)為x，則4×0.02+4×0.05+（x-14）×0.08=0.5，
解得：x=16.75，即中位數(shù)為16.75；
（2）這50名考生成績在[22，30]內(nèi)的人數(shù)4×（0.02+0.03）×50=10；
（3））∵P（17-3×3＜X≤17+3×3）=0.9974，
∴P（X≥26）=0.0013，0.0013×200 000=260．
∴全省前260名的排名（從高到低） 最低是26，這50人中26分以上的有50×0.02×4=4人．
隨機(jī)變量X可取0，1，2，于是
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
∴E（X）=0×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{2}{15}$=$\frac{4}{5}$．

點評 此題主要考查了正態(tài)分布，考查隨機(jī)變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數(shù)分布直方圖可以得到什么結(jié)論是學(xué)習(xí)中需要掌握的關(guān)鍵．