Question

5．已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和$\frac{z}{2+i}$均為實(shí)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)（z+mi）²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出復(fù)數(shù)z，化簡(jiǎn)$\frac{z}{2+i}$，利用實(shí)數(shù)，虛部為0，即可求出復(fù)數(shù)z．
（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件求解即可．

解答 解：（1）z為復(fù)數(shù)，z+2i和$\frac{z}{2+i}$均為實(shí)數(shù)，
可設(shè)：z=a-2i．
$\frac{z}{2+i}$=$\frac{a-2i}{2+i}$=$\frac{（a-2i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{2a-2+（-4-a）i}{5}$，
$\frac{z}{2+i}$為實(shí)數(shù)，可得-4-a=0，解得a=-4，
復(fù)數(shù)z=-4-2i．
（2）復(fù)數(shù)（z+mi）²=（-4-2i+mi）²=16-（m-2）²-8（m-2）i，復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
可得：$\left\{\begin{array}{l}16-{（m-2）}^{2}＞0\\-8（m-2）＞0\end{array}\right.$，解得-6＜m＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力．