Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx-sinx，2cosx），設(shè)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，所對的邊分別為a，b，c，若cosB=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算、二倍角公式和輔助角公式化簡f（x），在求出函數(shù)的最小正周期；
（2）由（1）化簡f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，根據(jù)內(nèi)角的范圍求出A，再由正弦定理求出b，利用內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求出sinC，代入三角形的面積公式求值．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由（1）得，f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，
則$sin（A+\frac{π}{4}）$=1，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{4}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，
則$A+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$A=\frac{π}{4}$，
∵cosB=$\frac{4}{5}$，且0＜B＜π，∴sinB=$\frac{3}{5}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，則b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
∵sinC=sin（A+B）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×\frac{6\sqrt{2}}{5}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{42}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦定理、內(nèi)角和定理，三角形的面積公式等，考查的知識點(diǎn)較多，屬于中檔題．