Question

16．（Ⅰ）已知${（2x-1）^{10}}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}（x-1{）^2}+…+{a_{10}}{（x-1）^{10}}$，其中a_i∈R，i=1，2，…10．
（i）求a₀+a₁+a₂+…+a₁₀；
（ii）求a₇．
（Ⅱ）2017年5月，北京召開“一帶一路”國際合作高峰論壇．組委會將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻譯、導游、禮儀、司機四個不同的崗位，每個崗位至少有一人參加，且五人均能勝任這四個崗位．
（i）若每人不準兼職，則不同的分配方案有幾種？
（ii）若甲乙被抽調(diào)去別的地方，剩下三人要求每人必兼兩職，則不同的分配方案有幾種？

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）在（2x-1）¹⁰中，令x=2可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀的值；
（ii）令x-1=y，得出（1+2y）¹⁰=a₀+a₁y+a₂y²+…+a₁₀y¹⁰，利用二項展開式的通項公式求出a₇的值；             
（Ⅱ）（i）先從5人中選出2人參加一個崗位，再分4組全排列；
（ii）根據(jù)題意，求出4個崗位，3人中每人身兼兩職的不同分配方案．

解答 解：（Ⅰ）（i）在（2x-1）¹⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀（x-1）¹⁰中，
令x=2可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=3¹⁰，
（ii）令x-1=y，則x=y+1；
∴（1+2y）¹⁰=a₀+a₁y+a₂y²+…+a₁₀y¹⁰，
∴a₇=C₁₀⁷2⁷=15360；             
（Ⅱ）（i）每個崗位至少有一人參加，每人不準兼職，則有一個崗位2人參加，
故有分配方案$C_5^2•A_4^4=240$（種）；
（ii）根據(jù)題意，4個崗位3個人參加，且每人身兼2職，不同的分配方案有
${{（C}_{4}^{2}）}^{3}$-（${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$•（${{（C}_{3}^{2}）}^{3}$-${C}_{3}^{2}$））=114（種）．

點評 本題考查了排列、組合，二項式定理的應用問題，是綜合題．