Question

10．某學校組織高一高二兩個年級的50名學生干部利用假期參加社會實踐活動，活動內容是：①到社會福利院慰問孤寡老人；②到車站做義工，幫助需要幫助的旅客．各位同學根據各自的實際情況，選擇了不同的活動項目，相關的數(shù)據如下表所示：

	到社會福利院慰問老人	到車站做義工	總計
高一	11	16	27
高二	15	8	23
總計	26	24	50

（1）用分層抽樣的方法在到車站做義工的同學中隨機抽取6名，求在高二年級的學生中應抽取幾名？
（2）在（1）中抽取的6名同學中任取2名，求選到的同學為高二年級學生人數(shù)的數(shù)學期望；
（3）如果“到社會福利院慰問老人”與“到車站做義工”是兩個分類變量，并且計算出隨機變量K²=2.981，那么，你有多大把握認為選擇到社會福利院慰問老人與到車站做義工是與年級有關系的？

參考數(shù)據	P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （1）高一有16名學生到車站做義工，高二有8名學生到車站做義工，由此利用用分層抽樣的方法能求出在高二年級的學生中應抽取幾名學生．
（2）在（1）中抽取的6名同學中有高一學生4名，高二學生2名，從中任取2名，取到高二年級的學生人數(shù)X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出選到的同學為高二年級學生人數(shù)的數(shù)學期望．
（3）由K²=2.981＞2.706，且P（K²≥2.706）=0.1=10%，得到有90%把握認為選擇到社會福利院慰問老人與到車站做義工是與年級有關系的．

解答 解：（1）∵50名學生中有24名學生到車站做義工，
其中高一有16名學生到車站做義工，高二有8名學生到車站做義工，
∴用分層抽樣的方法在到車站做義工的同學中隨機抽取6名，
在高二年級的學生中應抽�。�$\frac{6}{24}×8$=2名．
（2）在（1）中抽取的6名同學中有高一學生4名，高二學生2名，
從中任取2名，取到高二年級的學生人數(shù)X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}=\frac{2}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=$0×\frac{2}{5}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．
（3）∵K²=2.981＞2.706，且P（K²≥2.706）=0.1=10%，
∴認為“選擇到社會福利院慰問老人與到車站做義工是與年級沒有關系”的概率為10%，
∴有90%把握認為選擇到社會福利院慰問老人與到車站做義工是與年級有關系的．

點評 本題考查分層抽樣的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查隨機變量K²的應用，解時要認真審題，是中檔題．