Question

7．正三棱錐P-ABC的側(cè)棱兩兩垂直，則PA與底面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的正三棱錐的特點(diǎn)，根據(jù)三垂線定理做出二面角的平面角，在直角三角形中做出要用的兩條邊的長(zhǎng)度，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到角的余弦值即可．

解答 解：正三棱錐P-ABC的側(cè)棱兩兩垂直，
過(guò)P做地面的垂線PO，在面ABC上，做BC的垂線AD，
AO為PA在底面的射影，
則∠PAO就是PA與底面ABC所成角，
設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)是1，在等腰直角三角形PBC中BC=$\sqrt{2}$，PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
PA與底面ABC所成角的余弦值為：$\frac{PA}{AD}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角及其求法，本題解題的關(guān)鍵是做出直線與平面所成角，解三角形，是基本知識(shí)的考查．