Question

5．△ABC中，a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則c+2b的最大值是6．

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再由余弦定理可得A=$\frac{π}{3}$，利用基本不等式可得bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，△ABC為等邊三角形，

解答 解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b²+c²-bc=4，即b²+c²-4=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
再由b²+c²-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，取等號(hào)，
∴此時(shí)，△ABC為等邊三角形，c+2b的最大值是6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．