Question

11．已知數(shù)列{a_n}的通項a_n是二項式（1+x）ⁿ與${（1+\sqrt{x}）^{2n}}$的展開式中的所有x的次數(shù)相同的各項系數(shù)之和，求數(shù)列{a_n}的通項及前n項和S_n．

Answer 1

分析 由（1+x）ⁿ可得xⁱ的系數(shù)為${∁}_{n}^{i}$；${（1+\sqrt{x}）^{2n}}$的展開式中xⁱ的系數(shù)為${∁}_{2n}^{2i}$，可得a_n=2ⁿ+$\frac{1}{2}×{2}^{2n}$．再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：由（1+x）ⁿ可得xⁱ的系數(shù)為${∁}_{n}^{i}$；${（1+\sqrt{x}）^{2n}}$的展開式中xⁱ的系數(shù)為${∁}_{2n}^{2i}$，
∴a_n=2ⁿ+$\frac{1}{2}×{2}^{2n}$=${2}^{n}+\frac{1}{2}×{4}^{n}$．
∴S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{1}{2}×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$+2ⁿ⁺¹-$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的前n項和公式、二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．