Question

20．已知函數f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R，若f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立，則實數k的取值范圍為（　�。�

• A． k＞1
• B． k≥1
• C． k＞3
• D． k≥3

Answer 1

分析 將不等式f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立進行轉化，利用參數分離法求函數的最值，求實數k的取值范圍．

解答 解：若f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立，
即lnx+$\frac{k}{x}$≥2+$\frac{1-e}{x}$，
則k≥2x+1-e-xlnx，
設g（x）=2x+1-e-xlnx，
則g′（x）=2-（1+lnx）=1-lnx，
當x＞e，則g′（x）=1-lnx＜0，此時函數單調遞減，
當0＜x＜e，則g′（x）=1-lnx＞0，此時函數單調遞增，
即當x=e時，g（x）取得極大值，同時也是最大值g（e）=2e+1-e-e=1，
則k≥1，
即k的取值范圍是k≥1．
故選：B．

點評 本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，以及不等式恒成立問題，利用參數分離法是解決本題的關鍵．