Question

11．在銳角△ABC中，交A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理化簡已知的式子求出sinC，再由銳角三角形的特征求出角C的大��；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理和條件可得7=a²+b²-ab，利用三角形的面積公式和條件求出ab和a²+b²的值，由完全平方公式即可求出a+b的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$，
根據(jù)正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$，則sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是銳角三角形，∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
則7=a²+b²-ab，即ab=a²+b²-7，①
∵△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
解得ab=6，代入①可得a²+b²=13，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=25，則a+b=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及整體代換的應(yīng)用，屬于中檔題．