Question

3．如圖，已知三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=OC=4，OB=3．
（1）求O點(diǎn)到平面ABC的距離；
（2）設(shè)A₁、B₁、C₁依次為線段OA，OB，OC內(nèi)的點(diǎn)，證明：△A₁B₁C₁是銳角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用等體積法，即可求O點(diǎn)到平面ABC的距離；
（2）可以通過余弦定理解決．

解答 （1）解：由題意，AC=4$\sqrt{2}$，AB=BC=5，所以S_△ABC=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{17}$=2$\sqrt{34}$，
設(shè)O點(diǎn)到平面ABC的距離為h，則$\frac{1}{3}×2\sqrt{34}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×3$，
所以h=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$；
（2）證明：設(shè)OA₁=a；OB₁=b；OC₁=c，則A₁B₁²=a²+b²，同理B₁C₁²=c²+b²，A₁C₁²=a²+c²，
在三角形A₁B₁C₁中，由余弦定理得：cosA=$\frac{{2a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$＞0，
同理可證cosB＞0，cosC＞0，所以，△A₁B₁C₁是銳角三角形．

點(diǎn)評 本題考查體積公式的運(yùn)用，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．