Question

1．已知f（x）=$\frac{2（x+1）^{2}+3ax}{{x}^{2}+1}$，a為常數(shù)，若f（x）最大值為M，最小值為m，則M+m=4．

Answer 1

分析 根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2（x+1）^{2}+3ax}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2+（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2}{{x}^{2}+1}$+$\frac{（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$，
則f（x）-2=$\frac{（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$為奇函數(shù)，
設(shè)g（x）=f（x）-2=$\frac{（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$，
則g（x）的最大值g（x）_max=f（x）_max-2=M-2，g（x）的最小值g（x）_min=f（x）_min-2=m-2，
∵g（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
即M-2+m-2=0，
則M+m=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求法，根據(jù)條件構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)最值的對(duì)稱(chēng)性是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．