Question

10．已知拋物線C：y²=4x，P為C上一點且縱坐標為2，Q，R是C上的兩個動點，且PQ⊥PR．
（1）求過點P，且與C恰有一個公共點的直線l的方程；
（2）求證：QR過定點．

Answer 1

分析 （1）求得P（1，2），考慮過P與對稱軸y=0平行，和過P且與拋物線相切的直線，計算即可得到所求直線方程；
（2）設出拋物線上的Q（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），R（$\frac{^{2}}{4}$，b），而P（1，2），由PQ⊥PR．借助于向量數(shù)量積等于0得到a，b的關系，由兩點式求出QR所在直線的斜率，寫出QR的點斜式方程，與a，b的關系式結合后由直線系方程得答案．

解答 解：（1）由題意可得P（1，2），
當過P與對稱軸y=0平行，與拋物線只有一個交點，
直線方程即為y=2；
當過P且與拋物線相切的直線和拋物線只有一個交點，
由y²=4x對x求導，得2yy′=4，
則切線的斜率為k=$\frac{2}{2}$=1，
即有直線方程為y-2=x-1，即為y=x+1．
故直線l的方程為y=2或y=x+1；
（2）證明：設Q（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），R（$\frac{^{2}}{4}$，b），而P（1，2），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2），$\overrightarrow{PR}$=（$\frac{^{2}}{4}$-1，b-2），
由于PQ⊥PR，得向量$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PR}$=0，
即為（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1）（$\frac{^{2}}{4}$-1）+（a-2）（b-2）=0，
整理得ab+2a+2b+20=0．
而過QR的直線的斜率為：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$．
∴過QR的直線方程為y-b=$\frac{4}{a+b}$（x-$\frac{^{2}}{4}$），
整理得4x+ab-（a+b）y=0，
即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化為4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直線恒過定點（5，-2）．
∴直線QR必過定點（5，-2）．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了直線系方程的運用，是中檔題．