Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{6}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\sqrt{2}{cos^2}\frac{x}{2}$
（1）將函數(shù)f（x）化簡成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式即可得解f（x）=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（2）令$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，即可解得f（x）單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{7π}{6}$得$\frac{5π}{12}≤x+\frac{π}{6}≤\frac{4π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{x+\frac{π}{6}}）≤1$，從而得解．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{6}}}{2}sinx+\sqrt{2}（\frac{1+cosx}{2}）$=$\sqrt{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（2）令$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
解得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{4π}{3}$，
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為$[{2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}}]$，k∈Z．
（3）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{7π}{6}$得$\frac{5π}{12}≤x+\frac{π}{6}≤\frac{4π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{x+\frac{π}{6}}）≤1$
故當(dāng)x=$\frac{7π}{6}$時，f（x）有最小值$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{2}$；當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，f（x）有最大值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．