Question

8．已知二次方程x²+2（m-1）x+2m+6=0至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 先求出判別式，根據(jù)題意分類討論，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：二次方程x²+2（m-1）x+2m+6=0的判別式△=4（m-1）²-4（2m+6）=（m-5）（m+1），
當(dāng)m=-1，二次方程即 x² -4x+4=0，有一個(gè)正根x=2，滿足條件．
當(dāng)m=5，二次方程即 x² +8x+16=0，有一個(gè)負(fù)根x=-4，不滿足條件．
根據(jù)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△＞0，求得m＜-1或 m＞5．
若方程有一個(gè)正根和一個(gè)零根，則2m+6=0，求得 m=-3；
若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則2m+6＜0，求得 m＜-3；
若方程有兩個(gè)正根，則-2（m-1）＞0 且2m+6＞0，求得-3＜m＜1．
綜上可得，m≤-1，
故答案為：（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．