Question

20．設(shè)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0），則x²+y²=c²與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)A，直線(xiàn)AF交另一條漸近線(xiàn)與點(diǎn)B．若$\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FA}$，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 由題意，y=$\frac{a}$x與x²+y²=c²聯(lián)立，可得A（a，b），求出AF的斜率，利用$\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FA}$，B為線(xiàn)段FA的中點(diǎn)，可得斜率之間的關(guān)系，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：由題意，y=$\frac{a}$x與x²+y²=c²聯(lián)立，可得A（a，b），
∴AF的斜率為$\frac{a+c}$，
∵$\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FA}$，
∴B為線(xiàn)段FA的中點(diǎn)，
∴OB⊥AF，
∴$\frac{a+c}$•（-$\frac{a}$）=-1，
∴e²-e-2=0，
∵e＞1，
∴e=2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)以及離心率的綜合考查，是考查基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．