Question

8．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：
①對(duì)正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）；②f$（\frac{1}{2}）$=1．
（1）求f（1）和f（4）的值；
（2）求滿足f（x）+f（5-x）＞-2的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（1）和f（4）的值；
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵對(duì)正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1⇒f（1）=0；
令x=2，y=$\frac{1}{2}$⇒f（1）=f（2）+f（$\frac{1}{2}$），
∴f（2）=-1，
再令x=y=2⇒f（4）=f（2）+f（2）=-2，
∴f（1）=0，f（4）=-2．
（2）∵f（x）+f（5-x）=f（5x-x²），
其中，$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ 5-x＞0\end{array}\right.$，又-2=f（4），
∴原不等式化為：f（5x-x²）＞f（4），
又f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ 5-x＞0\\ 5x-{x}^{2}＜4\end{array}\right.$，
∴0＜x＜1或4＜x＜5，
∴不等式解集為：（0，1）∪（4，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解集抽象函數(shù)的基本方法．