Question

5．給出兩個(gè)命題：
命題甲：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅，
命題乙：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)．
若命題甲的否定與命題乙中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1或a＜-1或-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 分別求出兩個(gè)命題都為真命題的等價(jià)條件，然后結(jié)合條件命題甲的否定與命題乙中有且只有一個(gè)是真命題，等價(jià)為命題甲與命題乙的真假性相同，進(jìn)行判斷即可．

解答 解：命題甲為真時(shí)，△=（a-1）²-4a²＜0，即$a＜-1或a＞\frac{1}{3}$．
命題乙為真時(shí)，2a²-a＞1，解得 a＜-$\frac{1}{2}$，或 a＞1．
∵命題甲的否定與命題乙中有且只有一個(gè)是真命題，
∴命題甲與命題乙的真假性相同，
若都為真命題則$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{3}或a＜-1}\\{a＞1或a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即a＞1或a＜-1，
若都為假命題，則$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{-\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，即$-\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{3}$．
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞1或a＜-1或-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假的應(yīng)用，求出命題成立的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．